Размещения

Выпишите формулы количества размещений для подбора открывающей комбинации к каждому замку на изображении. Недостающие данные замените буквами.

Пятеро студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что все студенты экзамен сдали (получили отметку 3, 4 или 5)?

Сколькими способами можно разложить в два кармана десять монет различного достоинства?

Надо срочно доставить 6 посылок разным адресатам. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи посылок можно послать четырех курьеров, и каждую посылку можно дать любому из них?

Курьер сам решает, в каком порядке доставлять данные ему посылки.

Из Николаева в Ольгино ведут 2 шоссе, соединенные 10 проселочными дорогами. Сколькими способами можно проехать из Николаева в Ольгино так, чтобы дорога не пересекала себя?

Пусть при том же условии из задачи Большое путешествие два путешественника выезжают из Николаева по разным шоссе. Сколькими способами может произойти путешествие так, что ни один участок шоссе они не проезжают в одном и том же направлении?

Из Ольгино в Пеньки ведут 3 шоссе, пересекаемые 4 проселочными дорогами. Сколькими способами можно совершить путешествие, если ни по одному участку шоссе не едут в направлении Ольгино и ни один участок не проезжают дважды?

В селении проживает 1000 жителей. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы.

Алексей хочет посчитать сколько однобуквенных, двухбуквенных и трехбуквенных слов можно составить из букв A, B, C, D. Чтобы одним ходом посчитать сразу все слова, он добавил к буквам особый элемент — нулевую букву $\Theta$. Она означает пустоту — отсутствие буквы.

Количество сразу всех однобуквенных, двухбуквенных и трехбуквенных теперь можно представить как размещения с повторениями из 5 букв (4 буквы и одна нулевая) по 3 «вакантым местам» в слове:

Правильно ли поступил Алексей? Если нет, объясните, в чем ошибка в его подходе и найдите правильное количество слов.

В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения этого государства?

Во рту человека не может быть более 32 зубов.

В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих пяти языков? На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?

В каждой масти есть по 13 карт.

Докажите, что $A_n^n = A_n^{n-1}$.
Объясните смысл этого равенства.

Когда-то автомобильные номера состояли из одной, двух или трех букв и следующих за ними четырех цифр. Найдите число таких номеров, если использовались 32 буквы.

В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кирилические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента — цифры (код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы.

Сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России? А сколько номеров могли выдать в Москве, на которую выделили три кода региона: 77, 97 и 99?

Сколько чисел, меньших миллиона, можно написать с помощью цифр:

1. 1
   8 и 9;
2. 2
   7, 8, 9;
3. 3
   0, 8, 9 (с цифры 0 число начинаться не может)?

Трое юношей и две девушки выбирают себе место работы. В городе есть три завода, где требуются рабочие (туда берут лишь мужчин), два магазина, куда берут лишь женщин, и две фирмы, куда требуются и мужчины, и женщины. Сколькими способами они могут распределиться между этими предприятиями?

Имеется три курицы, четыре утки и два гуся. Сколькими способами можно выбрать из них несколько птиц так, чтобы среди выбранных оказались и куры, и утки, и гуси?

На перекрестке имеется m светофоров. Сколько может быть различных состояний этих светофоров, если каждый светофор независимо от остальных имеет три возможных состояния: горит зеленый; горит желтый; горит красный?

Решите ту же задачу, если допускаются все возможные комбинации огней каждого светафора.

Сколько можно составить из 32 букв шестибуквенных слов, содержащих хотя бы один раз букву «а»?

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых 3 цифрах которых не встречаются цифры 0 и 9?

В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает чашку, блюдце и ложку)?

В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Трое судей должны независимо друг от друга пронумеровать их в порядке, отражающем их выступление в соревновании. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В скольких случаях победитель соревнований будет определен?

У отца есть 5 различных апельсинов, которые он дает своим 8 сыновьям, причем каждый получает или один апельсин, или ничего. Сколькими способами это можно сделать? А если число апельсинов, получаемых каждым сыном, не ограничено? Как изменится ответ, если отец должен раздать все пять апельсинов?

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4. А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи каждого числа?

Сколькими способами могут выпасть три различные игральные кости? Во скольких случаях хотя бы на одной кости выпадет 6 очков? Во скольких случаях ровно на одной кости выпадет 6 очков? Во скольких случаях ровно на одной кости выпадет 6 очков, а на другой — 3 очка?

Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться несколько раз? А если каждая цифра встречается лишь один раз?

Сколькими способами можно разложить число n на слагаемые?

Например, число 3 имеет 4 композиции:

Порядок слагаемых имеет значение!