Перестановки

На панели быстрого доступа показываются способности героя (квадраты, кроме крайнего правого), которые может использовать игрок. Способности можно менять местами, получая различные варианты панели.

Сколько существует различных вариантов панели быстрого доступа?

Компания из 7 друзей вызвала такси-минивэн на семь пассажирских мест. Сколькими способами они могут разместиться внутри машины? А если друзей 6?

Сколько пятизначных чисел содержат все цифры $1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5$?
А сколько содержат все цифры $0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8$?

В соревнованиях участвуют шесть команд: A, B, C, D, E и F.

Сколько существует вариантов расположения команд по результатам соревнования, если точно известно, что команда A не займёт ни первое, ни последнее место?

Сколько нечётных и сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру надо использовать один раз?

Элли придумывает секретный пароль к своему компьютеру, причём каждый символ она использует только один раз. Из какого минимального количества символов должен быть составлен пароль, чтобы в худшем случае взломщику пришлось перебрать не меньше $250 \ 000$ вариантов?

В марафоне приняло участие 16 человек, в том числе и три подруги: Катя, Женя и Настя. Бегут они вместе и пересекают финишную черту строго друг за другом в том порядке, в котором указаны их имена.

Сколькими способами они могут это сделать? А сколько способов, если финиш они пересекают в любом порядке (но все ещё друг за другом)?

У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдаёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски?

Сколько различных анаграмм можно получить, переставляя буквы слов: «ингредиент», «метаматематика», «парабола»?

Миша решает задачу по комбинаторике:

«На полке надо расставить две одинаковые книги и одну фигурку. Сколькими способами это можно сделать?»

Он считает, что каждый вариант расставить вещи на полку можно рассматривать как размещение с повторениями из 2 элементов (книга и фигурка) по 3 вакантным местам и находит количество способов это сделать по формуле:

Правильно ли задачу решил Миша? Если нет, то поясните его ошибку и приведите правильное решение.

В 1610 году Галилей отправил Кеплеру следующую анаграмму-загадку:

«Haec immatura a me iam frustra leguntur oy»

Это предложение можно перевести как «Эти незрелые вещи пытаюсь объединить я пока что безуспешно». Сколько различных анаграмм можно из неё составить?

На званый вечер приглашены 5 мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на круглый стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?

А если 5 мужчин и 5 женщин садятся не за круглый стол, а на карусель, и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими?

Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

Ладья бьет по всей свой горизонтали и вертикали.

Сколькими способами на доске размером $n\times n$ можно расположить n разных ладей?

На первые две линии шахматной доски произвольным образом ставятся белые и черные фигуры (по два коня, два слона, две ладьи, ферзь и король каждого цвета). Сколькими способами можно это сделать? Сколькими способами можно расставить те же фигуры по всей доске ($8 \times 8$ полей)? А если расставляются и все пешки (по 8 пешек каждого цвета)?

Найдите сумму всех пятизначных чисел, которые можно записать с помощью цифр $1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5$ так, что в каждом числе ни одна цифра не повторяется.

Решите ту же задачу для пятизначных чисел, которые можно записать цифрами от 1 до 9.

Сколькими способами число n можно разложить на m слагаемых?

Порядок слагаемых имеет значение!

Найдите сумму всех пятизначных чисел, которые можно получить, переставляя цифры $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$ (цифра 0 не должна быть первой).

Имеется 5 красных и 4 синих шарика. Шарики одного цвета друг от друга ничем не отличаются. Сколькими способами их можно расположить в ряд? А если считать одинаковыми расстановки, которые можно совместить поворотами круга?

Из 9 цветных квадратиков составили большой квадрат. Сколько всего можно составить больших квадратов из этих квадратиков? А если считать одинаковыми варианты, которые можно совместить поворотом квадрата?