Комбинаторика

Факториал

Простой, быстрый и стильный способ записывать и работать с длинными цепочками умножений. А еще вы наконец поймете, почему факториал 0 равен 1.
Статья
Конспект
Задачи
Факториальные вычисления
Ликбез

Решите примеры:

100!99!\frac{100!}{99!}
Свойства факториала
Ликбез

Докажите следующие свойства факториала n!:

  1. 1

    Если n>1, то факториал — четное число.

  2. 2

    Если n>4, то факториал оканчивается на 0.

  3. 3

    nn≥n!≥nn^n \geq n! \geq n

Понять — значит упростить
Ликбез

Упростите выражения:

n!(n+1)!\frac{n!}{(n+1)!}
Уравнения с факториалами
Ликбез

Решите уравнения:

(x+6)!(x+4)!+x2−16x=28\frac{(x+6)!}{(x+4)!} + x^2 - 16x = 28
Удвоение факториала
Ликбез

Существует ли факториалы, которые в 2 раза больше другого факториала?
А в k раз больше?

Разность соседних факториалов
Ликбез

Найдите, чему равна разность факториалов двух соседних чисел:

(n+1)!−n!= ?(n+1)! - n! = \ ?
Разложение факториала
Нормальный

Докажите формулу факториала через два предыдущих факториала:

n!=[(n−1)!+(n−2)!]⋅(n−1)n! = \left[ (n-1)! + (n-2)! \right]\cdot(n-1)
Нисходящий поток
Нормальный

Найдите значение выражения:

(10!+9!)(8!+7!)(6!+5!)(4!+3!)(2!+1!)(10!−9!)(8!−7!)(6!−5!)(4!−3!)(2!−1!)\frac{(10! + 9!)(8!+7!)(6!+5!)(4! + 3!)(2! + 1!)}{(10!-9!)(8!-7!)(6!-5!)(4!-3!)(2!-1!)}
Факториальная сумма
Нормальный

Вычислите сумму:

1⋅1!+2⋅2!+…+n⋅n!1\cdot 1! + 2\cdot 2! + \ldots + n\cdot n!
Факториал внутри факториала
Нормальный

Найдите, при каких n выполняется равенство:

(n!)!=n!⋅(n−1)!(n!)! = n!\cdot (n-1)!
Бесконечная степень
Нормальный

Решите уравнение:

x!x!x!⋯=1x!^{x!^{x!^{\cdots}}} = 1
Дырявые факториалы
Продвинутый

Среди перечисленных чисел найдите все простые:

100!+2,100!+3,…,100!+100100! + 2, \quad 100! + 3, \quad \ldots, \quad 100! + 100
Повелитель составных чисел
Продвинутый

Докажите, что какое число n не выбери, обязательно найдется ряд из n идущих подряд составных чисел.

В паре мы сильнее!
Красивая
Продвинутый

Докажите неравенство:

n!2≥nnn!^2 \geq n^n
Потрошитель умножений
Продвинутый

Докажите неравенство:

2!4!…(2n)!>[(1+n)!]2,n≥22!4!\ldots(2n)! > \left[(1+n)!\right]^2, \quad n \geq 2
Поиск нулей факториала
Продвинутый

Сколько нулей в конце факториала 100?
А у факториала 526?
А у факториала n?

Поиск факториалов по нулям
Продвинутый

Найдите все факториалы, в конце которых будет ровно 10 нулей.
А какие имеют в конце ровно 11 нулей?

Поиск множителей
Продвинутый

Найдите такой наибольший показатель степени для числа 12n12^n, чтобы оно нацело делило число 49!.

YAMLParseError: Unexpected scalar at node end at line 38, column 1: $$ n^{\overline{k}} = (n+k-1)^{\underline{k}} = \frac{(n+k-1)!}{\le… answer: | ^^^^^^
Полная разность факториалов
Продвинутый

Чему равна разность m! – n! двух произвольных чисел m и n при условии, что m>n?

Факторионы
Продвинутый

Факторионами называют такие числа, которые равны сумме факториалов своих цифр:

145=1!+4!+5!145 = 1! + 4! + 5!

Бесконечно ли количество факторионов?

Источники11

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Для более глубокого погружения в материал рекомендуются ознакомиться с ними подробнее, особенно с избранными источниками, которые отмечены звездочкой:

Brilliant
Образовательная платформа по математике и IT
Прекрасный сайт с наглядными пояснениями, хорошими примерами и упражнениями.
Factorials
Trailing Number of Zeros
Википедия
Свободная энциклопедия
Факториал
Факторион
Убывающие и возрастающие факториалы
Math Exercises
Сборник упражнений по математике
Factorials and Combinatorial Expressions
Combinatorial Equations and Inequalities
Archimedes Lab Project
Сборник математических фактов
"Magic" Factorials
Math is Fun
Обучающие статьи по математике
Factorial Function !
Пикабу
Информационно-развлекательное сообщество
Факторионы -- что это за числа? Их всего четыре в природе⁠⁠
Сборник задач и упражнений по математическому анализу
Борис Павлович Демидович, «Астрель», 2005
Пункт а) задачи 9