Бином Ньютона

Используем мощь комбинаторики для изучения самой математики: упростим умножение многочленов и выведем известную и очень полезную формулу!

Дополнение

Профиль

Зависимости

Статья

Конспект

Задачи

Умножение многочленов

Умножение многочленов можно рассматривать как составление всех комбинаций из одночленов этих самых многочленов. Такой комбинаторный способ умножения многочленов не только проще и нагляднее, но и позволяет задействовать в этом процессе всю мощь комбинаторики:

Комбинаторное умножение

Умножьте друг на друга многочлены «комбинаторным» способом:

(n + m)(j + k)(l + e) = \ ?

Решение

Три многочлена, значит, нам надо составить все возможные комбинации из 3-х элементов, причём на каждое «вакантное место» в комбинации претендуют по 2 буквы. По правилу умножения у нас должно получиться $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ комбинаций.

Искать комбинации будем прямым перебором. Чтобы в процессе не запутаться, надо соблюдать правила перебора. В данном случае будем фиксировать первые буквы комбинации и менять последние:

\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{} (n + m) & (j + k) & (l + e) \\ \hline n & j & l & = njl \\ n & j & e & = nje \\ \hdashline n & k & l & = nkl \\ n & k & e & = nke \\ \hline m & j & l & = mjl \\ m & j & e & = mje \\ \hdashline m & k & l & = mkl \\ m & k & e & = mke \end{array}

Прямым перебором нашли все предсказанные 8 комбинаций. Теперь складываем их все вместе и получаем ответ!

(n + m)(j + k)(l + e) = \\ = njl + nje + nkl + nke + mjl + mje + mkl + mke

Бином Ньютона

Вручную умножать друг на друга большое количество многочленов очень долго и утомительно. Поэтому математики придумали формулу для работы со степенями двучленов:

Бином Ньютона

Формула, позволяющая напрямую получать результат возведения любого двучлена в любую натуральную степень:

(a+b)^n = C_n^0 a^{n-0}b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^n a^{n-n}b^n

В компактном виде:

(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k

В формулах выше записи вида $C_n^k$ это количества сочетаний из n по k.

Примеры построения слагаемых

Левая часть равенства по определению степени является длинной цепочкой из n умножающихся друг на друга скобок:

(a+b)^n = (a+b) (a+b) (a+b) \ldots

Мы уже знаем, как легко работать с произведением многочленов. Каждая из скобок «превращается» либо в a, либо в b, тем самым образуя n-буквенную комбинацию. Потом все возможные комбинации складываются:

aaaaa\ldots + babab \ldots + bbaab\ldots + \ldots

Каждая такая комбинация является слагаемым в большой сумме, поэтому далее мы так и будем их называть.

Например, если каждая скобка превратится в a, то мы получим слагаемое $a^n$ :

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} (a+b) & (a+b) & (a+b) & \ldots & \\ \hline a & a & a & \ldots & = a^n \end{array}

Если в a превратить только одну скобку, а остальные (n – 1) скобок в b, то получим слагаемое вида $ab^{n-1}$ . Причём таких слагаемых будет аж n штук, потому что в a можно превратить любую из n скобок (первую, вторую, n-ую):

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} (a+b) & (a+b) & (a+b) & \ldots & \\ \hline a & b & b & \ldots & = ab^{n-1} \\ \hline b & a & b & \ldots & = ab^{n-1} \\ \hline b & b & a & \ldots & = ab^{n-1} \\ \hline \vdots \end{array}

Складываем вместе эти n одинаковых слагаемых и получаем $n \cdot ab^{n-1}$ .

Вывод формулы

Превратим ровно k скобок в b. Остальные n – k скобок автоматически превращаются в a. Тогда слагаемое будет иметь вид $a^{n-k}b^k$ .

Слагаемых такого вида будет столько, сколькими способами можно выбрать k скобок для превращения в b. Порядок, в котором выбираются скобки, значения не имеет, поэтому каждый выбор скобок — это сочетание из n всех скобок по k скобкам для превращения. Всего $C_n^k$ способов эти скобки выбрать.

Итак, превратив k скобок в b, мы получаем $C_n^k$ одинаковых слагаемых вида $a^{n-k}b^k$ . Складываем их вместе и получаем общий вид слагаемого в разложении бинома Ньютона:

\boxed{C_n^k a^{n-k}b^k}

Переменная k по очереди принимает все значения от 0 (ни одна скобка не станет b) до n (все скобки стали b). И каждое новое значение k порождает очередное слагаемое в разложении бинома Ньютона:

(a+b)^n = C_n^0 a^{n-0}b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + \ldots + C_n^n a^{n-n}b^n

Используем символ суммы для того, чтобы записать эту формулу в коротком и красивом виде:

(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k

$\blacksquare$

Многочлены имеют и другое название — полиномы.
Соответственно, двучлен — бином.

Формулы сокращенного умножения

С помощью формулы бинома Ньютона найдите, чему равны следующие степени биномов:

(a+b)^0

(a+b)^1

(a+b)^2

(a+b)^3

(a+b)^4

Решение

(a+b)^0 = C_0^0 a^{0}b^{0} = C_0^0 = \boxed{1} \\ (a+b)^1 = C_1^0 a^1 + C_1^1 b^1 = \boxed{a + b} \\ (a+b)^2 = C_2^0 a^2 + C_2^1 ab + C_2^2 b^2 = \boxed{a^2 + 2ab + b^2} \\ (a+b)^3 = C_3^0 a^3 + C_3^1 a^2b + C_3^2 ab^2 + C_3^3 b^3 = \\ = \boxed{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}

Предыдущие формулы хорошо известны, и их можно довольно просто вывести напрямую. Но вот для четвёртой степени умножать друг на друга 4 скобки будет уже проблематично. А с биномом Ньютона ответ находится быстро:

(a+b)^4 = C_4^0a^4 + C_4^1a^3b + C_4^2a^2b^2 + C_4^3ab^3 + C_4^4b^4 = \\ = \boxed{a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}

Длинную цепочку из слагаемых после применения формулы бинома Ньютона называют разложением степени бинома:

\underbrace{(a+b)^2}_{\text{Степень бинома}} = \ \ \underbrace{a^2 + 2ab + b^2}_{\text{Разложение}}

Пример разложения

Чему будет равен двучлен $x^2 - y$ , если его возвести в шестую степень?

(x^2 - y)^6 = \ ?

Решение

Будем считать, что $x^2$ выполняет роль a, а – y роль b:

a = x^2 \qquad b = -y

Применяем формулу бинома Ньютона:

(x^2 - y)^6 = \\ = C_6^0 (x^2)^6 + C_6^1 (x^2)^5(-y) + C_6^2 (x^2)^4(-y)^2 + C_6^3 (x^2)^3(-y)^3 + C_6^4 (x^2)^2(-y)^4 + C_6^5 (x^2)(-y)^5 + C_6^6(-y)^6

Аккуратно считаем сочетания, работаем со степенями, не путаемся в знаках и получаем финальный вид разложения:

(x^2 - y)^6 = \\ = x^{12} - 6 x^{10}y + 15x^8y^2 - 20x^6y^3 + 15x^4y^4 - 6x^2y^5 + y^6

Общий член разложения

Иногда бывает полезно точечно изучить конкретное слагаемое, полученное после применения формулы бинома Ньютона, без необходимости выписывать всё разложение целиком. Такие слагаемые обозначают $T_k$ , где k — номер слагаемого в разложении:

Формула члена разложения

k-ый член в разложении по формуле бинома Ньютона имеет следующий вид:

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Найти и выписать!

Чему равен нулевой член разложения степени бинома $(a+b)^n$ ?
А 58-ой член разложения $(2 + m)^{100}$ ?

Решение

Для ответа на первый вопрос применяем формулу члена разложения при k = 0:

T_0 = C_n^0 a^{n-0} b^0 = C_n^0 a^n = a^n

А во втором случае k = 58, а n = 100:

T_{58} = C_{100}^{58} 2^{100 - 58} m^{58} = C_{100}^{58} 2^{42} m^{58}

Биномиальный коэффициент

Числовой коэффициент перед каждым членом разложения бинома Ньютона.

Обозначается двумя способами:

C_n^k \quad \text{или} \quad \binom{n}{k}

Левое обозначение это количество сочетаний из n по k — понятие из комбинаторики, которое нашло удобное применение в формуле бинома Ньютона. Правый способ сложился исторически, без связи с комбинаторикой. Его придумали специально для формулы бинома Ньютона.

Одно и то же!

На сегодняшний день нет никакой разницы, какое обозначение использовать. Вас везде поймут вне зависимости от того, пишете ли вы $\binom{n}{k}$ или $C_n^k$ в формуле бинома Ньютона или в каких-нибудь комбинаторных задачах. Это одно и то же!

C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \ k!}

Повторение биномиальных коэффициентов

В разложении бинома Ньютона k-ый биномиальный коэффициент $C_n^k$ равен k-му с конца, то есть $C_n^{n-k}$ :

C_n^k = C_n^{n-k}

Алгебраическое доказательство

Докажем равенство чисто алгебраически, используя формулу количества сочетаний:

C_n^k = C_n^{n-k} \\ \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = \frac{n!}{(n - n + k)! \ (n-k)!} \\ \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = \frac{n!}{k! \ (n-k)!}

Выражения слева и справа одинаковые.

$\blacksquare$

Комбинаторное доказательство

Пускай у нас есть n одинаковых белых шаров. Мы хотим покрасить k из них в красный цвет. Выбрать из n шаров k шаров для покраски можно $C_n^k$ способами.

Но можно решить задачу и наоборот. После покраски останется n – k непокрашенных шаров. Тогда выбрать из n шаров n – k шаров, которые не будут покрашены, можно $C_n^{n-k}$ способами.

Количество способов выбрать шары для покраски ровно столько же, что и количество способов выбрать шары, которые останутся нетронутыми:

C_n^k = C_n^{n-k}

$\blacksquare$

Доказательство через бином Нюьтона

От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому:

(a+b)^n = (b+a)^n

Распишем левое выражение по формуле бинома Ньютона:

(a+b)^n = \\ = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \ldots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n

Теперь распишем правое выражение тоже по формуле бинома Ньютона, но задом наперёд:

(b+a)^n = \\ = C_n^n a^n + C_n^{n-1}ba^{n-1} + \ldots + C_n^1 b^{n-1}a + C_n^0 b^n

Для наглядности запишем члены разложения обеих сумм друг под другом:

\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{r|r|r|r|r} C_n^0 a^n & C_n^1 a^{n-1}b & \ldots & C_n^{n-1}ab^{n-1} & C_n^n b^n \\ C_n^n a^n & C_n^{n-1}a^{n-1}b & \ldots & C_n^1 ab^{n-1} & C_n^0 b^n \end{array}

Так как суммы равны, то обязаны быть равны и их слагаемые:

C_n^0 a^n = C_n^n a^n \\ C_n^1 a^{n-1}b = C_n^{n-1}a^{n-1}b \\ \cdots

А слагаемые могут быть равны только если равны биномиальные коэффициенты:

C_n^0 = C_n^n \quad C_n^1 = C_n^{n-1} \quad \ldots \\ C_n^k = C_n^{n-k}

$\blacksquare$

Биномиальные коэффициенты можно считать с помощью треугольника Паскаля — через предыдущие биномиальные коэффициенты, выписанные в виде треугольника:

Треугольные вычисления

С помощью треугольника Паскаля найти разложение степени бинома $(a+b)^5$ , а потом разложение $(a+b)^6$ .

Решение

Ранее мы уже построили треугольник Паскаля для четвёртой степени бинома. Добавляем к нему ещё одну строчку. Числа в ней и будут биномиальными коэффициентами для разложения пятой степени бинома:

Подставляем полученные коэффициенты в разложение:

(a+b)^5 = \\ = \blue{1}a^5 + \blue{5}a^4b + \blue{10}a^3b^2 + \blue{10}a^2b^3 + \blue{5}ab^4 + \blue{1}b^5

Для шестой степени бинома берём последнюю строчку треугольника и дописываем под ней ещё одну:

Подставляем коэффициенты:

(a+b)^6 = \\ = \blue{1}a^6 + \blue{6}a^5b + \blue{15}a^4b^2 + \blue{20}a^3b^3 + \blue{15}a^2b^4 + \blue{6}ab^5 + \blue{1}b^6

Применение бинома Ньютона

Полезный инструмент

Бином Ньютона не связан с жизнью напрямую, но используется для вывода большого количества формул и теорем, которые имеют множество применений в жизни.

Источники12

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Для более глубокого погружения в материал рекомендуются ознакомиться с ними подробнее, особенно с избранными источниками, которые отмечены звездочкой:

Комбинаторика

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А., 7-е издание, МЦНМО, 2019

Почти идеальная подача теории через жизненные примеры. Интересные задачи. Широчайший охват тем, в том числе и из высшей математики.

24. Бином Ньютона

Пособие по математике для поступающих в вузы

Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х., 3-е изд., 1988

§2. Формула Ньютона

Глава XI

Задачи к главе XI

ЯКласс

Цифровой образовательный ресурс для школ

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона